Elementy Teorii Gier

Wykład dla studentów IV i V roku studiów

kierunku matematyka.

Wydział Matematyki Stosowanej

dr Jerzy Stochel

§. 1. Modele matematyczne.

Matematyka znajduje coraz szersze zastosowanie nie tylko w naukach przyrodniczych ale również w naukach społecznych, a nawet humanistycznych. Na ogół w naukach przyrodniczych używamy matematyki „analitycznej” tzn. matematyki budowanej od podstaw poprzez dogłębną analizę pojęć matematycznych, ich własności i wzajemnych korelacji. Taką matematykę dotychczas poznawaliście i jest ona niezbędna do rozwiązywania wszelkich problemów.

W praktyce „przyrodniczej” stosuje się metodę „badań operacyjnych”

Definicja 1.

Przez „badanie operacyjne” rozumiemy cykl przedsięwzięć mających na celu opisanie badanego zjawiska na który składają się:

a). budowa matematycznego modelu zjawiska,

b). rozwiązanie otrzymanego modelu matematycznego,

c). weryfikacja modelu – konfrontacja rozwiązania z rzeczywistością.

Przykład 1.

Losujemy spośród 10 kul, 4 – kule. Wśród 10 – kul jest 6 – kul białych i 4 – kule czarne. Mamy rozstrzygnąć problem: Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 4 – kul tak by wśród nich było przynajmniej po 1 – kuli białej i czarnej?

Model 1.

Etap 1.

Budowanie modelu (nie musi być jednoznaczny!)

Numerujemy kule: 1,...,6 – czarne i

7,...,10 – białe.

Definiujemy zbiór zdarzeń elementarnych:

Ω = { { ω₁, ω₂, ω₃, ω₄,} : ω₁,... ω₄ ω₁,... ω₄ są różne między sobą}.

Ilość elementów tego zbioru wynosi:

= .

Przez A oznaczamy zdarzenie, którego prawdopodobieństwo mamy policzyć, a przez A’- zdarzenie przeciwne do A. Zdarzenie przeciwne jest postaci:

A’ = {{ ω₁,..., ω₄} Ω : ω₁,... ω₄ {1, ...,6} albo ω₁,... ω₄ {7, ...,10}}

Ilość elementów tego zbioru wynosi:

= +

Etap 2.

Liczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A’:

P( A’) = / = = =

Model 2.

Etap 1.

Analogicznie jak poprzednio numerujemy kule oraz definiujemy zbiór zdarzeń elementarnych

Ω₁ = { ( ω₁, ..., ω_n) : ω₁,... ω_n ω₁,... ω_n są różne między sobą}.

Ilość elementów tego zbioru wynosi .

Tak jak poprzednio określamy zdarzenie przeciwne:

A₁^’ = {( ω₁,..., ω_n) Ω₁ : ω₁,... ω_n {1, ...,6} albo ω₁,... ω_n {7, ...,10}}

Etap 2.

Ilość elementów zdarzenia A₁^’ wynosi:

= + =

Czyli P₁() =

Etap 3. (dla obu modeli)

Weryfikacja modelu

a). Etap teoretyczny

P₁(A’₁) = P(A’) OK.

b). Etap doświadczalny

Wykonujemy odpowiednią ilość prób i sprawdzamy statystycznie czy wynik teoretyczny zgadza się z wynikiem praktycznym.

W powyższym przykładzie pojawia się nowy element działalności matematycznej typowy dla matematyki stosowanej tj. budowanie modelu matematycznego. Rozwiązanie modelu matematycznego jest oparte na matematyce „analitycznej” – podstawowej. Etap 3. czyli weryfikacja modelu oparty jest często na statystyce matematycznej i z częstym wykorzystaniem komputera wraz z pewnymi metodami matematycznymi np. analizą numeryczną czy też teorią aproksymacji.

Wynika stąd, że od matematyka stosowanego wymaga się o wiele więcej umiejętności niż od klasycznego matematyka. W szczególności bardzo dużo wyczucia wymaga budowa modeli matematycznych. Zbyt precyzyjny model może być trudny do rozwiązania ( model 2.) ze względu na brak metod „analitycznych”. Mniej precyzyjny model jest łatwiejszy do rozwiązania, ale mniej dokładnie przybliża rzeczywistość. Matematyk stosowany musi więc mieć intuicję i wyczucie w wyborze modelu, nie mówiąc o umiejętności konstrukcji modelu matematycznego.

Z modelowaniem spotkaliście się głównie w rachunku prawdopodobieństwa, które swe źródła ma w grach hazardowych. I faktycznie gry losowe są obiektami dla których najczęściej i najchętniej próbowano uzyskać pełny opis matematyczny, który gwarantowałby odpowiedź na pytanie „jak grać by wygrać?”

Definicja 2.

Modele matematyczne możemy podzielić na :

a). modele deterministyczne

dane układem równań i nierówności

gdzie f i g znane funkcje zmiennych wektorowych

o wartościach wektorowych,

b). modele probabilistyczne

dane układem równań i nierówności

gdzie np.: (x) = f(x)[ ] i f(x) jest daną funkcją zmiennych wektorowych i l₁,...,l_k są wektorami losowymi,

c). modele deterministyczno-probabilistyczne są połączeniem modeli typu a) i c),

d). modele statystyczne są modelami deterministyczno-probabilistycznymi bazujące na zbiorze wyników doświadczalnych-statystycznych;

(yⁱ,,...,,,...,,zⁱ, ,...,,,...,)_iI

Ze względu na olbrzymią różnorodność zagadnień które obejmują modele gier zajmiemy się grami tzw. dwuosobowymi tzn. takimi gdzie występują tylko dwaj gracze mający na ogół przeciwne „interesy”.

Przykład 2. (gra z „przyrodą”)

Założymy że gramy w ruletkę i dysponujemy kwotą 5 oraz stosujemy następującą strategię gry (bierzmy pod uwagę tylko trzy etapy gry):

1). Obstawiamy tylko parzyste (Białe) lub nieparzyste (Czarne),

2). Na początku stawimy kwotę 1 na B,

3). W przypadku przegranej podwajamy stawkę i obstawiamy ten sam kolor,

4). W wypadku wygranej ponownie stawiamy 1 na inny kolor,

5). Gdy brakuje na podwojenie stawki dajemy ile się da.

Próba opisu

gdzie licznik pokazuje nam wynik losowania i stan naszych zasobów , a mianownik co obstawiamy i w jakiej ilości.

Wartość oczekiwana wygranej po 3 turach stosowania tej strategii wynosi:

czyli statystycznie strategia jest remisowa.

Wartość oczekiwana wygranej po wylosowaniu w pierwszej turze kuli białej wynosi:

czyli jeśli wygramy pierwszy raz można grać dalej!

Wartość oczekiwana wygranej po wylosowaniu w pierwszej turze kuli czarnej wynosi:

czyli jeśli przegramy pierwszy raz to lepiej zaprzestać dalszej gry!

Podobne drzewka można uzyskać dla innych strategii. Pełny opis gry jest zbiorem opisanych drzewek w zależności od wyboru strategii. Ponieważ jest ich - wiele, można regułami ograniczyć ilość wybranych strategii. Gra z przyrodą polega więc na wyborze strategii dającej maksymalną pewność dobrej wygranej. Na bazie tego przykładu spróbujemy następnym razem podać ogólną definicję gry z uwzględnieniem czynników istotnych dla gry. Wcześniej jednak uzupełnimy wiedzę o sumowanie pozaskończonym.