ed

Matematyka

Wykład dla I  roku studentów

Wydziału Inżynierii Materiałowej i Ceramiki – AGH

Semestr I

Dr  Jerzy Stochel

 

 

 

 

I. Elementy podstaw matematyki

 

 

          Definiując dowolne pojęcie używamy słów i pojęć, które musimy mieć wcześniej zdefiniowane. Z kolej te ostatnie definiujemy za pomocą jeszcze „wcześniejszych” pojęć. Powstaje w ten sposób nieskończony ciąg procesu definiowania „pojęć”. Aby go przerwać musimy przyjąć, że pewnych pojęć nie definiujemy – przyjmujemy, że są one podstawowe, niedefiniowalne.

 

Def. I. 1

 

Pojęciem pierwotnym nazywamy „pojęcie”, którego nie definiujemy, które intuicyjnie jest jednoznaczne dla wszystkich ludzi.

 

Def. I. 2

 

Zbiór jest pojęciem pierwotnym.

 

          Podobną sytuacje jak z definiowaniem mamy ze stwierdzaniem, że „coś” jest prawdą. Udowadniając prawdziwość stwierdzenia, używamy stwierdzeń wcześniej znanych. Z kolej te stwierdzenia wcześniej znane udowadniamy za pomocą stwierdzeń jeszcze wcześniej znanych. Gdzieś musimy przerwać ten „zaklęty krąg”. Któreś stwierdzenie musimy uznać za prawdziwe bez dowodu. Te stwierdzenia nazywamy aksjomatami.

 

 

Def. III. 3

 

Aksjomat to stwierdzenie, którego prawdziwość przyjmujemy bez dowodu.

 

          Wybierając aksjomaty, logicy starali wybrać się na aksjomaty stwierdzenia w miarę proste, oczywiste i takie, by nie prowadziły do sprzeczności. We współczesnej nauce używa się systemu ośmiu aksjomatów Zernelo-Frenk’a. Wśród nich są takie aksjomaty jak np:

     -  „suma dwóch zborów jest zbiorem”,

-         „iloczyn dwóch zbiorów jest zbiorem”,

-   aksjomat wyboru- „ze zbioru nie pustego da się coś wybrać”.

 

        Procedurę wyboru pojęcia pierwotnego, czy też aksjomatu można zobrazować anegdotą:

 

Mama odbywa spacer z cztero – pięcio -letnim dzieckiem. Drogą przejeżdża samochód. Dziecko pyta mamy:

     - „A co to ?!”

Mama odpowiada:

-         „Samochód”

-         „A co to jest samochód ?”

-         „To taki pojazd co ma 4 kółka.”

-         „A co to jest kółko ?”

-         „Kółko to ramka na której jest oponka”

-         „A co to oponka ?”

-         „Oponka to takie miękkie tworzywko.”

-         „A co to jest tworzywko ?”

-         „To tworzywko - to guma”

-         „A co to guma ?”

-         „Guma to kauczuk ?”

-         „ A co to kauczuk ?”

I tu mama nie wytrzymuje i daje dziecku klapsa. Dziecko zapamiętuje, że „Kauczuk” to pojęcie pierwotne, tzn. takie, że pytanie o nie powoduje klapsa.

 

 

         Aby zbudować pełny system logiczny poza pojęciami pierwotnymi,  aksjomatami potrzebny jest system reguł wnioskowania logicznego. Wówczas będzie można prowadzić precyzyjne, ścisłe rozumowania logiczne. Będzie można precyzyjnie stwierdzić, że dane stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe. Logicy połączenie tych trzech elementów nazwali Uniwersum Logicznym.

 

Def. I. 4

 

Uniwersum – Pojęcia pierwotne + Aksjomaty + Reguły wnioskowania logicznego.

 

II. Elementy logiki

 

 

          Niestety nie jest możliwe precyzyjne zdefiniowanie pewnych elementarnych pojęć bez użycia języka nieprecyzyjnego – tzw. „metajęzyka”. Poniższe definicje będą tego typu definicjami.

 

Def. II. 1

 

„Słowem” nazywamy skończony ciąg znaków.

 Przykładami słów są:  „abc”, „kasa”, „xΙ”.

 

Def. II. 2

 

„Zdaniem” nazywamy skończony ciąg słów, któremu możemy przyporządkować prawdę (oznaczamy go symbolem „1”) lub fałsz 

( oznaczamy go symbolem „0”).

 

Przykładami zdań są:

-         „Kazik jest mądry”

-          „2+2=4”

Zdaniem nie jest ciąg słów:

-         ™ jest x

 

          Zdania możemy podzielić na elementarne i bardziej złożone , powstałe poprzez zastosowanie spójników logicznych. Nas w dalszej kolejności będzie interesowała głównie wartość logiczna zdań, a w szczególności wartość logiczna zdania złożonego w stosunku do wartości logicznej zdań elementarnych składających się na zdanie złożone. W tym celu dla ułatwienie przyszłej notacji zdania będziemy oznaczać literami p,  q, r, s,....  . Poniższa tabelka jest definicją logiczną podstawowych spójników logicznych:

 

 

 

Def. II. 3

 

 

p

q

~p

pÙq

pÚq

pÞq

pÛq

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

 

gdzie :

~p – oznacza negację, inaczej zaprzeczenie i czyta się

         „nie prawda, że p”

pÙq – oznacza koniunkcję, inaczej iloczyn zdań i czyta się „p i q”

pÚq – oznacza alternatywę, inaczej sumę zdań i czyta się „p lub q”

pÞq – oznacza implikację, inaczej wynikanie

             i czyta się „ z p wynika q”, „p implikuje q” lub „stąd, że p 

            wynika q”

pÛq – oznacza równoważność i czyta się „wtedy i tylko wtedy” lub      

            „p równoważne q” 

 

         Należy zwrócić uwagę na „wagę” spójnika logicznego „Þ”, który określa jakiego typu rozumowania mają sens. W szczególności tabela pokazuje, że  rozumowanie prowadzące z przesłanek prawdziwych do negatywnych nie może być prawdziwe, bo wówczas nie moglibyśmy uzasadnić słuszności  żadnego stwierdzenia.

 

Opierając się na Def. II. 3 możemy wykazać prawdziwość szeregu reguł logicznych.

 

Oto przykłady niektórych z nich:

 

Wniosek II. 1       [ Prawa d’Morgan’a ]

     

    (1)    [~(pÚq)]Û[(~p)Ù(~q)]

 

(2)            [~(pÙq)]Û[(~p)Ú(~q)]

 

 

 

Dowód:

 

ad1).

p

q

~p

~q

pÚq

~(pÚq)

~(p)Ù~(q)

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

                                                                                |________|

                                                                                                 ß

                                                                                               Ok

ad 2)   Dowód analogiczny .

 

 

      Powyższe prawa są nam dobrze znane z życia codziennego.

Ktoś mówi:

                 

                  „Franek jest bogaty i mądry”

 

 Inna osoba stwierdza:    „To nie prawda”.

           

                    „Franek jest biedny”     lub     „Franek jest głupi”.

 

 

Wniosek II. 2        [ Zasada kontrapozycji ]

        

               ( p Þ q )  Û [ (~p) Þ (~q) ]

 

Wniosek  II. 3    [ Zasada dowodu niewprost ]

              

                  [ ~(p Þ q )] Û [ p Ù (~q) ]

 

Dowody dwóch powyższych stwierdzeń pozostawiam, jako ćwiczenia.

 

      Zasadę kontrapozycji można opisać żartobliwym przykładem:

Student mówi do studenta na początku semestru; 

 

 

 

 „Jak zdasz egzamin to mi tu kaktus wyrośnie”

  |______________|     |_________________|

              ß                                    ß

              p                                     q

Na końcu semestru konstatuje:

 

„Nie wyrósł mi kaktus to znaczy nie zdałeś egzaminu”

  |________________|      |_____________________|

                 ß                                         ß

                ~p                                       ~q

 

Zasada dowodu niewprost pokazuje pewien paradoks logiczny. Stosując dowód wprost korzystając z przesłanek „p” musimy pokazać prawdziwość „q”. Przy dowodzie „niewprost” możemy dodatkowo korzystać z przesłanek „~q” (poza  p )  i wystarczy nam wykazać dowolną sprzeczność, tzn. wykazać, że prawa strona równoważności ma wartość „0”. Jest to sytuacja zdecydowanie łatwiejsza niż występująca  w dowodzie „wprost”. Dlatego tak często fakty są dowodzone „niewprost”, w szczególności w popularnych  „kryminałach”.

 

W naukach matematycznych bardzo często występują „niewiadome”. W związku z tym logika wprowadza następujące pojęcie:

 

 

Def. II. 4

 

Formułą zdaniową nazywamy taki ciąg słów, wśród których jedno lub kilka jest traktowanych jako zmienne, tzn. jeśli za nie podstawimy „konkretne” słowa to otrzymamy zdanie prawdziwe lub fałszywe.

   

 Zobrazujmy to na przykładzie:

        „X jest mądry”  jest formuła zdaniową, bo jeśli za x podstawimy słowo „Kazik” to otrzymamy zdanie prawdziwe lub fałszywe.

 

 

 

        Formuły zdaniowe możemy przekształcać w zdaniu poprzez tzw. „uniwersalne domknięcia” za pomocą kwantyfikatorów. Najpierw podamy definicję i genezę a potem omówimy sens domykania formuł zdaniowych.

 

Def. II. 5

 

a). Dużym Kwantyfikatorem nazywamy zwrot „dla każdego”, który oznaczamy symbolem" (od angielskiego „for all”) lub  L (od sensu graficznego  podstawa znaku obejmuje bardzo dużo punktów).

b). Małym Kwantyfikatorem nazywamy zwrot „istnieje”, który oznaczamy symbolem $ (od angielskiego „exist”) lub V (od sensu graficznego – podstawa znaku wskazuje dokładnie jeden punkt).

 

Teraz omówimy związek notacji dotyczącej kwantyfikatorów z notacją dotyczącą operacji logicznych. Wyobraźmy sobie, że mamy koniunkcję 5 zdań;

 

                                         p1 Ù p2  Ù  p3 Ù p4 Ù p5.

 

 Możemy ją także zapisać w poniższy sposób;

 

                                         p(1)Ù p(2) Ùp(3) Ùp(4) Ùp(5),

  

      lub żeby nie powtarzać ciągle p(1) możemy zastosować skrót analogiczny do sumowania                  5

                                    å a(i) = a(1) + a(2) + a(3) + a(4) + a(5)

                                        i=1

                                         5

  tzn.                                 /\ p(i) Û p(1) Ù p(2) Ù p(3) Ù p(4) Ù p(5).

                                        i=1

Możemy to także zapisać w postaci:

                    /\         p(i)   lub   /\  p(i)

                         iÎí1,2,3,4,5ý                               i  

 

w tym ostatnim przypadku jeśli wiemy, w jakim zakresie porusza się „i”.

Odpowiada to potocznemu określeniu: „dla każdego i zdanie p(i) jest prawdziwe”. Oznacza to, że notacja koniunkcji pochodzi od notacji stosowanej dla dużego kwantyfikatora. Powyżej przedstawiona analogia dotyczy skończonej ilości stosowania operacji koniunkcji. Duży kwantyfikator jest uogólnieniem koniunkcji dla dowolnej ilości (nieskończonej) operacji koniunkcji.

      Analogiczna zależność występuje pomiędzy małym kwantyfikatorem i operacją logiczna alternatywy.

 

 

Def. II. 6

 

Domknięciem uniwersalnym formuły zdaniowej p(x) nazywamy zdanie

        /\     p(x)   lub    Ú   p(x)

                x                                       x               .

 

      Ponieważ kwantyfikatory są uogólnieniem operacji logicznych, możemy do nich stosować podobnego typu prawa logiczne jak we wniosku II. 1. Poniżej podamy bez dowodu kilka własności logicznych kwantyfikatorów.

 

Wniosek II. 4.

 

a).      [Prawa d’Morgan’a]

(1)   ~ [/\  p(x) ] Û  \/ [~ p(x)] 

                              x                              x

(2)   ~ [ \/ p(x) ]  Û \/ [~ p(x)]

                      x                            x

     Prawa rozdzielności kwantyfikatorów względem Ú, Ù:

 

b). (1) {/\ [ p(x) Ù g(x) ]} Û {[ /\ p(x)] Ù [ /\ g(x)]}.

                   x                                                      x                          x

(2) {\/ [ p(x) Ú g(x) ]} Û {[ \/ p(x) ] Ú [ \/ g(x)]}.

            x                                                        x                           x 

(3) {/\ [ p(x) Ú g(x) ]} Ü{[ /\p(x)] Ú [ /\ g(x)]}.

            x                                           x>        x                         x

(4) {\/ [ p(x) Ù g(x) ]} Þ{[\/ p(x) ] Ù [\/ g(x)]}.

            x                                          <x        x                          x    

 

      Prawa z podpunktu a). są uogólnieniem Prawa d’Morgan’a z wniosku II.1. Prawa a podpunktu b). są prawami, które często stosujemy w życiu. Niech p(x) oznacza „ x jest mądry” i g(x) oznacza zdanie „ x ma dużo pieniędzy”. Umówmy się, że za x możemy podstawić osoby z pewnej grupy studenckiej;- oznaczmy ja IM. Wówczas zdanie z lewej strony stwierdzenia (1) brzmi:

 „każdy student grupy IM jest mądry i ma dużo pieniędzy”,

A zdanie z prawej strony (1) brzmi:

 „każdy student grupy IM jest mądry i każdy student grupy IM ma pieniądze”.

Oczywiście pomiędzy oboma stwierdzeniami zachodzi równoważność. Podobnie jest ze stwierdzeniem (2). W stwierdzeniu (4) lewa strona brzmi:

„Każdy student grupy IM jest mądry lub ma dużo pieniędzy”

(*) Może się, więc zdażyć że żaden student nie posiada obu przymiotów, a zdanie jest prawdziwe. Prawa strona tego twierdzenia brzmi:

„Każdy student grupy IM jest mądry lub każdy student grupy IM ma dużo pieniędzy „

Przy sytuacji opisanej w (*) to zdanie jest fałszywe. A więc w stwierdzeniu (3) mamy istotną implikacje w jedną stronę. Analogicznie rozumowanie można przeprowadzić dla stwierdzenia (4).

 

 

Formuły zdaniowe będziemy wykorzystywać do definiowania zbiorów i operacji na zbiorach. Ale o tym piszemy w Rozdziale III.